جدول ۳‑۳۴: فرکانس های طبیعی تیر یک سرگیردار با ترک مثلثی به ازای عمق های مختلف ترک و مقادیر مختلف و موقعیت ترک در میانه تیر ۹۳
جدول ۳‑۳۵: فرکانس های طبیعی تیر دو سر لولا با ترک مثلثی به ازای عمق های مختلف ترک و مقادیر مختلف و موقعیت ترک در میانه تیر ۹۳
جدول ۳‑۳۶: فرکانس های طبیعی تیر دو سرگیردار با ترک مثلثی به ازای موقعیت های مختلف ترک و مقادیر مختلف و عمق ۹۴
جدول ۳‑۳۷: فرکانس های طبیعی تیر یک سرگیردار با ترک مثلثی به ازای موقعیت های مختلف ترک و مقادیر مختلف و عمق ۹۴
جدول ۳‑۳۸: فرکانس های طبیعی تیر دو سر لولا با ترک مثلثی به ازای موقعیت های مختلف ترک و مقادیر مختلف و عمق ۹۵
جدول ۳‑۳۹: مقایسه نتایج روش پیشنهادی بامدل آزمایشگاهی در مرجع [۶۸] ۱۱۱
مقدمه و مرور کارهای انجام شده
مقدمه
یکی از مشکلات مهم در تیرها و محورها وجود ترک در آن هاست. این ترک ها اغلب به واسطه خستگی به وجود می آیند و یکی از عوامل، در بروز خرابی ها در محورها می باشند. وجود ترک سبب تغییر در مشخصه های ارتعاشی می شود و محققان دریافته اند که، اغلبِ دامنه این ارتعاشاتِ ساختارهای ترکدار، بستگی به عمق، موقعیت و شکل ترک نسبت به شکل مودهای سیستم دارد. از این رو یک تحقیق جامع و دقیق در مورد ارتعاشات ساختارهای ترکدار بسیار ضروری است. در سال های اخیر تلاش های زیادی در راستای حل تحلیلی برای اینگونه مسائل صورت گرفته است. ایجاد خرابی های ناگهانی در سازه ها محققین را به سمت تحقیق روی دینامیک سازه ها سوق داده است. از این رو بررسی و تحقیق در مورد پاسخ زمانی، شکل مود، شکل شیب و مهمتر از همه اندازه گیری فرکانس طبیعیِ سازه ترکدار می تواند به عنوان یک شاخص در تحقیقات در نظر گرفته شود.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
هدف از این پروژه ارائه روشی ساده و کاربردی برای پیدا کردن فرکانس های طبیعی یک تیر ترکدار با در نظر گرفتن تأثیر همه پارامترهای مربوط به ترک، بدون استفاده از روابط مربوط به مکانیک شکست می باشد. همچنین در قسمت مدل سازی ترک باز و بسته شونده، هدف مدل سازی ارائه مدلی است که تاثیر همه پارامترهای ترک در آن لحاظ شده و بتوان با بهره گرفتن از آن فرکانس طبیعی تیر را در حین ارتعاش بدست آورد.
تاریخچه مطالعات و مرور کارهای انجام شده
وجود ترک در سازه ها باعث کاهش سفتی و تغییر در خصوصیات دینامیکی مانند کاهش فرکانس طبیعی و تغییر در شکل های مودی می شود[۱و۲]. در سال ۱۹۹۸ چندروس[۱] و همکارانش، مسأله را برای تیر ترکدار یک لبه و دو لبه، به صورت جامع بررسی کردند[۳]. برخی کوشیده اند تا با روش های عددی به مسأله بپردازند[۴-۱۰].در حل عددی مسأله نیز پارامترهایی نظیر فرکانس طبیعی، ضریب تمرکز تنش و شکل های مودی مورد بررسی قرار گرفته اند.برای توضیح رفتار دینامیکی سازه های آسیب دیده روش های تحلیلی متعددی به کار گرفته شده است. برای مدل سازی ترک نیز، مدلهای بسیاری ارائه شده است؛ که این مدل سازیها را می توان در سه گروه دسته بندی کرد. برخی کوشیده اند تا با در نظر گرفتن کاهش سفتی موضعی در سازه مسئله را حل کنند[۱۱]. این مدل بر اساس روش المان محدود استوار است. هایستی و اسپرینگر[۲][۱۲]، گوناریس و دیماروگیناس[۳][۱۳]، تحقیقات خوبی را در مورد بررسی اثر ترک روی یک ناحیه از تیر ترکدار با بهره گرفتن از تعمیم روش المان محدود انجام داده اند. ابراهیم [۱۴] با ارائه یک مدل الاستو-پلاستیک به بررسی تغییر شکل ترک در رأس آن پرداخت. برخی دیگر تلاش کرده اند تا نرمی نسبی موضعی ایجاد شده را تخمین بزنند [۱۵]. در این رویکرد بخش آسیب ندیده سازه با بهره گرفتن از روش های استاندارد مانند[۴]FEM یا معادلات مشقات جزئی و ترکیب اجزای محدود مدل شده و ترک با یک فنر انعطاف پذیر نشان داده می شود. با بهره گرفتن از ماتریس سازگاری عبارات و معادلات برای میزان انرژی کرنشی آزاد شده و یا ضریب تمرکز تنش بدست می آید. کیزمسر[۵][۱۶] و همکارانش جزء اولین بررسی کننده های این موضوع بودند. آنها اثر ترک را توسط نیروها یا گشتاورهای معادل در موقعیت ناپیوستگی سازه بررسی کردند. دیماروگیناس [۱۷] ثابت های ماتریس سازگاری را بر اساس روابط مکانیک شکست بدست آورده و از آن برای آنالیز ارتعاش استفاده کرد. کریستیدزمد و بار[۶] [۱۸] به شکل عمده ای مدل های مختلف را برای بررسی ارتعاشات عمودی یک تیر ترکدار دولبه متقارن و بررسی ارتعاشات پیچشی یک میله ترکدار بر اساس تئوری اویلر-برنولی گسترش دادند. مدلهای ارائه شده توسط کریستیدز و بار، در سالهای اخیر توسط شِن و پیِر[۷][۱۹-۲۰-۲۱] بهبود و گسترش داده شد. آنها ابتدا تخمینی از پارامتر آسیب دیده با بهره گرفتن از مدلهای المان محدود دو بعدی ارائه کرده و سپس با اعمال ایده های مشابه به توسیع و گسترش مدلهای قبلی برای تیر ترکدار پرداخته اند. چندروس و دیماروگیناس [۲۲-۲۳-۲۴] رویکردی مشابه ارائه کردند اما در بررسی های آنها که به آن تابع ترک گفته می شود از روابط انرژی و مفاهیم مکانیک شکست استفاده شده است. در این رویکرد تلاش شده است تا ایده های کریستیدز و بار را با دیماروگیناس ترکیب کنند. رویکرد سوم، چشم پوشی از اثر برش در مقطع است و ارائه یک مدل پیوسته از تیر ترکدار است که با این فرض می توان ترک را با یک فنر پیچشی جایگزین کرد. هر دو روش نرمی نسبی و مدل پیوسته، توصیفی از سازه را وقتی که ترک به صورت باز در نظر گرفته می شود ارائه می کند. عموما در تحلیل ها ترک را از نوع باز در نظر می گیرند تا از اثرات غیرخطی بودن مسأله که ناشی از باز و بسته شدن ترک می باشد، صرف نظر کنند. برخی مطالعات آزمایشگاهی نیز برای بررسی درستی مدل ها انجام شده است. در اکثر موارد ترک ها با ایجاد یک برش ریز درنمونه ایجاد شده است. برخی از نتایج آزمایشگاهی توسط آدامز و کولی[۸] [۲۵]، و همچنین روتولو[۹] [۲۶]، برای چند ترک ارائه شده است. رفتار غیرخطی ترک، با بهره گرفتن از روش پرتوربیشن[۱۰] توسط بسیاری از محققان مانند گودموندسون[۱۱] [۲۷]، یاسینسکی [۲۸]، پلاختینکو و یاسینسکی[۱۲] [۲۹] و بالو[۱۳] [۳۰] انجام پذیرفته است. جاسیمت [۳۱] به بررسی ارتعاش تیر ترکدار یکسرگیردار و الشودیفات [۳۲] با بهره گرفتن از رویکرد المان محدود به بررسی ارتعاش روتور ترکدار پرداختند. روش تعادل هارمونیک برای حل معادلات حرکت و آنالیز رفتار دینامیکی سیستم استفاده می شود. بررسی رفتار دینامیکی یک تیر ترکدار با یک ترک با در نظر گرفتن تغییر شکل برشی و سفتی محوری توسط گومز و آلمیدا[۱۴] [۳۳] ارائه شده است. کادمی و مورراسی[۱۵] [۳۴] به بررسی مدل سازی ریاضی و حل دقیق یک تیر با چند ترک بر اساس تئوری اویلر- برنولی پرداختند. بسیاری از مطالعاتی که در مورد تیرهای شامل چند ترک انجام شده است، مسأله مستقیم یعنی تعیین فرکانسهای تیر با چند ترک را بررسی نموده اند. اما مقالاتی نیز[۳۵-۳۸]، مسأله معکوس یعنی ردیابی ترک از روی پاسخ دینامیکی تیر را بررسی نموده اند. مسأله ردیابی چند ترک از پیچیدگی بسیار بیشتری نسبت به تعیین موقعیت و اندازه یک ترک در طول تیر برخوردار است. برای حل این مسأله چوی[۱۶] و همکارانش [۳۹]، اثر ترک را به صورت کاهش صلبیت خمشی تیر ، در اطراف ترک مدل کرده و حل را به کمک روش ماتریس انتقال بدست آورده اند. محققان دیگری به سرپرستی ژنگ[۱۷] [۴۰، ۴۱]، از روش سری فوریه اصلاح شده استفاده کردهاند. اغلب تحقیقات انجام شده در مورد تیر ترکدار با بهره گرفتن از تئوری اویلر- برنولی برای شرایط مرزی مختلف انجام شده است[۴۲-۴۵]. در این میان گروهی با بهره گیری از تئوری تیموشنکو به ارائه مدل و بررسی تیر ترکدار پرداخته اند. له له و مایتی[۱۸] [۴۶] معادله مشخصه، برای تیر ترکدار تیموشنکو را با یک دترمینان مرتبه هشت بیان کردند. دسته دیگری از تحقیقات انجام شده در مورد تیر ترکدار، بررسی ارتعاشات، هنگام عبور بار متحرک است. زیبده[۱۹] [۴۷] مسئله را برای بار متحرک تصادفی در تیر، تحت اثر بار محوری بررسی کرد. روش دامنه زمان، مودال و روش تحلیل فرکانسی ازروش های مورد بررسی در این تحقیقات هستند. میچالتسوس[۲۰] [۴۸] رفتار دینامیکی تیر ساده اویلر- برنولی یک لبه را در اثر عبور یک بار متمرکز با محتوای حرکت متفاوت بررسی کرد. در این تحقیق اثر تغییر سرعت و همچنین شتاب دار شدن حرکت در عبور بار بررسی شده است. ابو هلال[۲۱][۴۹] در سال ۲۰۰۶ پاسخ تیر دولبه را در عبور یک بار ثابت بررسی کرد. سیسمک و کوکاتورک[۲۲] [۵۰] تیر سالم اویلر- برنولی را در عبور یک بار هارمونیک مورد بررسی قرار دادند. در تحقیق ذکر شده رفتار سازه در مقطع تیر به صورت یک تابع نمایی فرض شده است. این رفتار سازه در اصطلاح FGM[23] نامیده می شود. یانگ و همکارانش[۲۴] [۵۱] با فرض رفتار تابعی سازه، تیر ترکدار اویلر- برنولی را مورد بررسی قرار دادند. مبنای بخش عمده ای از تحقیقات اخیر در هر دو روش تحلیلی و عددی، تغییر در فرکانس های طبیعی[۵۲-۵۸]، اندازه گیری نرمی دینامیکی[۵۹-۶۰] یا مقایسه شکل های مودی [۶۱-۶۴] بوده است. در میان رویکردهای ذکر شده، بررسی تغییر در فرکانس های طبیعی به واسطه سهولت نسبی در به کارگیری، هزینه و سرعت در تحلیل نتایج، روش معمول تری است[۵۳-۶۰]. در بیشتر تحقیقات انجام شده در مورد تیر ترکدار، ترک را با یک فنر پیچشی (دورانی) بدون جرم، مدل کرده و تیر را در موقعیت ترک به دو قسمت تقسیم کرده که توسط این فنر پیچشی به یکدیگر متصل می شوند. سفتی این فنر توسط روابط موجود در مکانیک شکست محاسبه شده که تنها به عمق ترک وابسته است و سایر پارامترها مانند موقعیت و طول دهانه ترک، در نظر گرفته نمی شود. بررسی تحقیقات اخیر برای سازه های آسیب دیده نشان می دهد که مسأله ترک در تیر و تشخیص آن با روش های مبتنی بر ارتعاشات، طی سه دهه اخیر مورد علاقه محققین بسیاری بوده است [۶۱-۶۶].
انواع مدل سازی های ترک
برای بررسی رفتار دینامیکی تیر ترکدار، بررسی فرکانس طبیعی یکی از بررسی های معمول می باشد. به طور کلی برای آنالیز تیر ترکدار دو نوع مدل سازی وجود دارد: مدل سازی خطی و غیرخطی.
در مدل سازی خطی، ترک را به صورت باز (open crack) در نظر می گیرند، یعنی فرض می شود که ترک در حین ارتعاش همواره باز باقی می ماند و تغییری در آن ایجاد نمی شود. بررسی های انجام شده، در مراجع [۱۳،۱۴،۱۷،۱۸] از این فرض استفاده کرده اند.
در مدل سازی غیرخطی، فرض می شود که ترک در حین ارتعاش باز و بسته می شود که به این نوع ترک ها (breathing crack) گفته می شود. یعنی ترک از یک موقعیت کاملا باز به یک موقعیت کاملا بسته تغییر می کند. با این فرض اثرات غیرخطی ناشی از باز و بسته شدن ترک در معادلات وارد می شود، مانند تحقیقات موجود در مراجع[۶۷،۶۸،۶۹].
بیان مسئله مدل سازی ترک باز
یکی از راه های بررسی و تحقیق در مورد تیر ترکدار بررسی فرکانس های طبیعی مربوط به آن است. در مدل های قبلی ارائه شده، در موقعیت ترک، یک فنر پیچشی قرار داده می شود و تیر در این موقعیت، به دو قسمت تقسیم شده که توسط فنر به یکدیگر متصل می شوند. موضوع مورد اهمیت در این مدل سازی پیدا کردن سفتی این فنر می باشد. برای محاسبه سفتی فنر از روابط موجود در مکانیک شکست استفاده شده اما اشکال این مدل سازی در این است که در محاسبه سفتی، پارامتر در نظر گرفته شده تنها عمق ترک می باشد و پارامترهای دیگر، مانند موقعیت و طول دهانه ترک به عنوان پارامتر تأثیر گذار در نظر گرفته نمی شود. در این پژوهش سعی شده به ارائه مدلی پرداخته شود که اثر همه این پارامترها برای پیدا کردن فرکانس طبیعی دخالت داده شود، ضمن اینکه دیگر به استفاده از روابط مکانیک شکست نیازی نباشد. بر این اساس، ترک را با یک تیر که دارای گشتاور دوم سطح متفاوت نسبت به قسمت های بدون ترک تیر است مدل کرده و سپس شرایط پیوستگی، برای دو طرف این تیر تأمین می شود. با این کار اثر عمق ترک، موقعیت ترک و نیز طول دهانه ترک در معادلات وارد می شود و چون دیگر فنری در مدل سازی وجود ندارد نیازی به استفاده از روابط مکانیک شکست نخواهیم داشت. در ادامه با این مدل سازی به بررسی تیر ترکدار با دو و سه ترک و تیر ترکدار با شکل های هندسی مختلف ترک مانند ترک بیضوی، سهموی و مثلثی می پردازیم.
اهداف و مسائل بررسی شده در پایان نامه
هدف از این پژوهش و بررسی، ارائه مدلی برای مدل سازی ترک باز (مدل سازی خطی) و همچنین ارائه مدلی برای مدل سازی ترک باز و بسته شونده (مدل سازی غیرخطی) می باشد. در قسمت اول مدلی ارائه شده تا اثر همه پارامترهای ترک مانند عمق، موقعیت و طول دهانه ترک را در ارتعاش تیر در نظر بگیرد. مزیت این روش نسبت به سایر مدل سازی ها این است که در مدل سازی های قبلی تنها اثر عمق ترک در نظر گرفته می شد و از اثر موقعیت و طول دهانه ترک را به عنوان پارامتر تأثیرگذار چشم پوشی می شد و دیگر اینکه نیاز به استفاده از روابط علم مکانیک شکست برای پیدا کردن فرکانس طبیعی تیر ترکدار نمی باشد. در ادامه به بررسی تیر ترکدار با شکل های هندسی مختلف ترک پرداخته می شود. در این قسمت برای پیدا کردن فرکانس های طبیعی نیاز به روش گالرکین[۲۵] می باشد. ضمن اینکه برای این قسمت به دلیل عدم وجود نتایج تجربی یا تحقیقات دیگر مقایسه ای انجام نشده است، و تنها نشان دادیم که فرکانس های طبیعی بدست آمده از تیر سالم کمتر است. در قسمت دوم به ارائه مدل غیرخطی پرداخته شده است که باز و بسته شدن ترک را در حین ارتعاش بررسی می کند و با بهره گرفتن از روش میانگین گیری (averaging) به حل مسأله و پیدا کردن فرکانس های طبیعی و نیز زاویه باز و بسته شدن ترک در حین ارتعاش پرداخته شده است.
مدل سازی خطی و غیر خطی ترک و بررسی معادلات حرکت
مقدمه
در بسیاری از بررسی های انجام گرفته برای تحلیل ارتعاش تیر ترکدار، از فرض ترک باز استفاده می شود. یعنی ترک در حین ارتعاش باز باقی می ماند. از این رو در بیشتر مدل سازی های صورت گرفته قسمت ترکدار را با یک فنر پیچشی مدل می کنند، یعنی تیر مانند شکل ۲-۱ الف در قسمت ترک به دو بخش تقسیم شده که این دو بخش با این فنر پیچشی به هم متصل می شوند مانند شکل ۲-۱ ب. نکته مهم در این مدل سازی پیدا کردن سفتی فنر می باشد. برای پیدا کردن سفتی فنر با بهره گرفتن از علم مکانیک شکست یک رابطه بر حسب عمق ترک تخمین زده می شود. که این روابط در پیوست آورده شده است. اما در مدل ارائه شده در این پژوهش به جای آنکه از فنر و روابط مکانیک شکست استفاده کنیم، در موقعیت ترک، یک تیر قرار می دهیم که این تیر با توجه به عمق ترک دارای گشتاور دوم سطحی متفاوت از قسمت های بدون ترک تیر می باشد. با این مدل دیگر نیاز به استفاده از سفتی فنر پیچشی و استفاده از روابط مکانیک شکست نمی باشد.
(الف)
(ب)
شکل ۲‑۱:الف، تیر به طول با یک ترک به عمق در موقعیت نشان داده شده .ب)همان تیر با فنر پیچشی جایگزین ترک با سفتی
معادلات ارتعاش آزاد
در این قسمت به بررسی معادلات حرکت و شرایط پیوستگی با بهره گرفتن از تئوری های اویلر- برنولی و تیموشنکو برای تیر ترکدار با مدل سازی بیان شده می پردازیم.
تئوری اویلر – برنولی
تیری به طول و ارتفاع و ضخامت و ترکی به طول دهانه و عمق در موقعیت نشان داده شده، مانند شکل ۲-۲ در نظر بگیرید. همان طور که قبلا بیان شد قسمت ترکدار تیر را با یک تیر که ممان اینرسی متفاوتی نسبت به مقاطع بدون ترک دارد، مدل سازی می کنیم. معادلات حرکت با فرض تئوری اویلر- برنولی برای هر قسمت تیر به صورت زیر است:
