ناحیه ی درونی چندک ام برای اطلاعات چندک برای توزیع را به صورت کامل مشخص می کند. یک ویژگی بارز این ناحیه، تودرتو بودن آن است، بدین معنی که به ازای ناحیه درونی چندک ام زیر مجموعه ناحیه درونی چندک ام است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

برای یکسان سازی نمادها، با توجه به وجود تنها دو جهت در ، ، تابع چندکی جهت یافته از میانه را به صورت زیر تعریف می کنیم:
شکل زیر ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره را نشان می دهد.
شکل (۱-۴): ناحیه ی درونی چندک ام در حالت یک متغیره
در شکل (۱-۴) نقاط و نقاط مرزی هستند که ناحیه ی درون این بازه دارای احتمال و ناحیه ی خارج این بازه دارای احتمال می باشد.
۱-۲-۲- تابع چندکی جهت یافته از میانه در حالت چند متغیره
برای تعریف تابع چندکی در حالت چند متغیره نیازمند تعریف میانه هستیم. روش های مختلفی برای محاسبه میانه در حالت چند متغیره وجود دارد (به عنوان مثال در بخش ۲-۲ به روش تابع عمق اشاره خواهد شد) حالا فرض می کنیم که میانه ی داده شده است و که به صورت زیر تعریف می شود:
همچنین فرض می کنیم خانواده ی که در آن برای ، و است، شامل ناحیه های تودرتو حول باشد. تابع چندکی جهت یافته از میانه به سادگی با شاخص گذاری هر نقطه روی کران ساخته می شود که به صورت مبسوط مورد بررسی قرار خواهد گرفت.
شکل زیر، ناحیه های درونی را نشان می دهد که همگی حول مرکز یعنی میانه واقع شده اند.
شکل (۱-۵): ناحیه های درونی حول مرکز به طوریکه
با مشخص کردن نقاط روی ناحیه های مرزی و تابع چندکی جهت یافته از میانه حاصل می شود. به طور دقیق تر برای ، تعریف می شود و آنگاه توسط نقطه ی مرزی در جهت از مشخص می شود و یک ناحیه ی درونی چندک ام را ارائه می کند. کرانه های ، که کانتور نامیده می شود، تفسیر های مفیدی را به عنوان تابع چندکی جهت یافته از میانه دارند. ایده های متفاوت از میانه ی و شکل های متفاوت برای ناحیه های ما را به فرم های متفاوت تابع چندکی، سوق می دهند.
شکل (۱-۶): انتخاب یک ناحیه در بین ناحیه های تودر تو که کمترین احتمال بزرگتر از را دارد.
شکل (۱-۶) ناحیه های تودرتو را نشان می دهد و در اینجا ناحیه ای را نشان می دهد که در بین ناحیه های دیگر کمترین احتمال بزرگتر از را دارد و به این ناحیه، ناحیه ی درونی چندک ام گفته و به کرانه های کانتور می گوئیم.
خواص تابع چندکی جهت یافته از میانه در زیر بیان شده است:
۱- برای هر ثابت و به ازای همه ی ها، مجموعه شامل یک ناحیه ی درونی چندک ام با نقاط مرزی و میانه می باشد.
۲- برای هر جهت از فاصله ی نسبت به افزایشی است، که در آن نشان دهنده نرم اقلیدسی است.
۳- ناحیه های درونی چندک ام یا به ازای همه ی ها دارای ساختار و تفسیر مناسبی است.
برای راحتی کار، از این به بعد به جای نام کامل تابع چندکی جهت یافته از میانه، به اختصار از تابع چندکی نام می بریم.
فصل دوم
چندک ها بر اساس تابع عمق
۲-۱- مقدمه
همانگونه که قبلا متذکر شدیم، توسیع مفهوم چندک به داده های چند بعدی می تواند از چند منظر صورت گیرد، ما در این فصل این مفهوم را با بهره گرفتن از تابع عمق گسترش می دهیم. بدین منظور ابتدا تابع عمق را تعریف کرده و سپس با معرفی یک تابع عمق خاص به نام تابع عمق نیم فضا و به کارگیری آن، مفهوم چندک را برای متغیرهای چند بعدی معرفی می کنیم.
۲-۲- تابع عمق
تابع حقیقی مقدار و غیر منفی که بر روی تعریف شود و یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی ایجاد کند را یک تابع عمق گویند. منظور از مفهوم مرکزی و ترتیبی این است که بتوان نقطه مرکزی داده ها را مشخص کرده و ترتیبی برای داده ها در نظر گرفت. مرکز نقطه ای است که بیشترین عمق را دارا باشد. در صورت وجود چند نقطه با بیشترین عمق، میانگین این نقاط را مرکز می گیرند. با فاصله گرفتن از نقطه مرکزی عمق نقاط کاهش یافته و لذا یک رابطه ترتیبی در ایجاد می شود. لازم به ذکر است که توابع عمق متفاوتی وجود دارد و ما در این پایان نامه از تابع عمق نیم فضا بهره می جوئیم که در ادامه به آن اشاره می شود.
۲-۲-۱- تابع عمق آماری
فرض کنید یک تابع توزیع باشد. هر تابع که یک مفهوم مرکزی و ترتیبی روی بر اساس ایجاد می کند را یک تابع عمق آماری گویند.
فرض کنید یک تابع عمق آماری باشد. اگر به جای یک متغیر تصادفی قرار گیرد آنگاه تابع توزیع متغیر تصادفی به صورت معمول زیر تعریف می شود:
۲-۲-۱-۱- ناحیه ی درونی عمق
فرض کنید یک تابع عمق آماری باشد. ناحیه ی درونی عمق به صورت
معرفی می شود. لازم به ذکر است که
در ادامه یک تابع عمق آماری را ارائه و مفهوم تابع چندکی را توسط آن بیان می کنیم.
۲-۲-۱-۲- تابع عمق نیم فضا
وقتیکه یک نیم فضای بسته باشد، تابع عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
برای روشن تر شدن مفهوم تابع عمق نیم فضا، را در نظر بگیرید. یک صفحه به صورت های مختلفی به نیم صفحه افراز می شود. نیم صفحه ای را برمی گزیند که کمترین احتمال پوشش نقطه را داشته باشد.
۲-۲-۱-۲-۱- ناحیه ی درونی عمق نیم فضا
فرض کنید یک تابع احتمال روی باشد. در صورتیکه یک نیم فضای بسته باشد، ناحیه ی درونی عمق نیم فضا به صورت زیر تعریف می شود:
برای مثال، فرض کنید است، آنگاه ناحیه ای است که بین تمام نیم صفحه هایی که احتمال آنها از بزرگتر است، مشترک است.
شکل (۲-۱)، را برای توزیع نرمال دو متغیره با های متفاوت و شکل (۲-۲)، را برای توزیع نمایی دو متغیره با های متفاوت نشان می دهد.
شکل (۲-۱): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نرمال دو متغیره
شکل (۲-۲): ناحیه های درونی تودرتو برای توزیع نمایی دو متغیره
۲-۲-۱-۳- ناحیه ی مرکزی ام
بیشترین عمق کرانه ای که دارای ناحیه های درونی با احتمال بزرگتر یا مساوی است را توسط نشان می دهیم. لازم به ذکر است که کرانه همان کانتور است.
(۲-۱) .
با توجه به تعریف، چون نسبت به نزولی است بنابراین وقتی به صعود می کند ناحیه ی به نزول می یابد و داریم:
.
درستی رابطه فوق در زیر توضیح داده شده است.