بررآوردگرنمونه­ای RMSE-1 RMSE-2

دوره­نگار لاپلاسی
RMSE-1 RMSE-2

موارد

۱.۰۰ ۱.۵۷
۱.۲۲ ۱.۹۱
۴.۹۲ ۱۲.۴۰
۹.۲۶ ۳۴.۳۶

۱.۵۶ ۰.۹۹
۱.۸۶ ۱.۱۸
۱۱.۵۰ ۴.۴۵
۳۱.۱۷ ۸.۱۵

r=0
r=0.5
r=0.90
r=0.95

جدول۴-۱: دوره­نگار لاپلاسی و برآوردگر نمونه
بر اساس مطالعات شبیه­سازی شده در این بخش، نتیجه می­گیریم که دوره­نگار لاپلاسی استوارتر و جایگزین موثری برای دوره­نگار عادی در تحلیل سری­های زمانی با طیف پیوسته می­باشد. استواری به دو فرم است: استواری در برابر وجود داده پرت و استواری در برابر تبدیل غیرخطی بی­حافظه. هر دو مورد دارای مزایای عملی در مسایل کاربردی هستند.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۴-۲ تشخیص سیگنال
مساله تشخیص سیگنال سینوسی در مشاهدات بدست آمده از سری زمانی
، ، را در نظر بگیرید. فرض می­کنیم که فرکانس شناخته شده اما دامنه نامعلوم باشد. این مساله را می­توان در قالب آزمون فرض در مقابل فرض بررسی کرد. فرض می­کنیم، به جز و ، هیچ اطلاعی از نوفه در اختیار نداریم. این پارامترها را می­توان در عمل، هنگامی که مشاهدات در غیاب سیگنال ساخته شوند، برآورد کرد.
تحت این شرایط، یک آشکارساز طبیعی که آن را آشکارساز لاپلاسی می­نامیم، به صورت زیر است:
این آشکارساز مشابه آزمون در تجزیه و تحلیل رگرسیون است با این تفاوت که ضرایب رگرسیونی به وسیله برآورد واریانس نوفه استاندارد نشده­اند. تحت فرض ، دارای توزیع مجانبی است. بنابراین، با قرار دادن ، احتمال هشدار اشتباه آشکارساز را می ­تواند تقریبا برابر با دانست در آن اشاره بر چندک در توزیع مرکزی دارد. با توجه به قضیه ۲-۴، احتمال آشکارسازی آشکارساز لاپلاسی تحت فرض تقریبا برابر با
است. یک آشکارساز مشابه، که آن را آشکارساز گاوسی می­نامیم بر اساس دوره­نگار عادی ساخته می­ شود. احتمال آشکارسازی آشکارساز گاوسی تقریبا برابر با
است.
برای مقایسه توان این آشکارسازها، توجه کنید که یک تابع افزایشی از است. این امر نشان می­دهد که . به عبارت دیگر، آشکارساز لاپلاسی تواناتر از آشکارساز گاوسی است اگر و تنها اگر SNR لاپلاسی بزرگتراز SNR عادی باشد. با بهره گرفتن از تعریف، معادل است و عبارت دوم تنها به طیف نوفه در فرکانس سیگنال بستگی دارد. در حالت خاص نوفه سفید، این شرط به کاهش می­یابد. برای نوفه سفید گاوسین
است و، بنابراین، آشکارساز گاوسی در این حالت تواناتر است. اگر نوفه دارای توزیع نمایی دوگانه^[۶۱] باشد، آنگاه است که در این حالت آشکارساز لاپلاسی تواناتر است. به طور کلی، از آنجایی که معادل است این شرایط به نفع توزیع­های دم سنگین با بسیار بزرگ نسبت به چگالی در صفر است.
به عنوان یک مثال عددی، شکل ۴-۴ نتیجه شبیه­سازی را نشان می­دهد که در آن منحنی­های گیرنده مشخصه عامل^[۶۲] (ROC) برای آشکارسازهای لاپلاسی و گاوسی با بهره گرفتن از ۱۰۰۰ بار اجرای شبیه­سازی مونت کارلو با رسم شده ­اند. در این مثال، نوفه تحت شرایط مختلف در نظر گرفته شده و میزان هشدار اشتباه و احتمال آشکارسازی شبیه سازی شده ­اند. در (a) و (b)، ،
و یک دنباله از نوفه­های سفید مستقل و هم­توزیع هستند. در © و (d)،
، و فرایند (نوفه رنگی) تعریف شده در مثال ۴-۱ با
، است و از نوفه­های سفید مختلف ساخته می­شوند. واریانس نوفه سفید در همه موارد، بجز در حالت کشی، برابر یک است. برای نوفه سفید با توزیع کشی پارامتر مقیاس برابر ۰.۲۵ در نظر گرفته شده است.
همانطور که در شکل ۴-۴ دیده می­ شود، در حالت گاوسین، آشکارساز گاوسی بهتر از آشکارساز لاپلاسی عمل می­ کند. این امر به این دلیل است که آشکارساز گوسی را با بهره گرفتن از روش ماکزیمم درستنمایی می­توان تفسیر کرد. در سایر موارد، که در آن نوفه دارای توزیع با دم سنگین است، آشکارساز لاپلاسی برتر است. در حالتی که توزیع کشی باشد، نوفه دارای واریانس متناهی نیست اما آشکارساز لاپلاسی در مقایسه با آشکارساز گوسی بسیار بهتر عمل می­ کند. این نتیجه برتری دوره­نگار لاپلاسی را در آشکارسازی سیگنال در نوفه­های دم سنگین را تایید می­ کند.
شکل۴-۴: منحنی ROC برای تشخیص یک سیگنال سینوسی در شرایط نوفه­های مختلف. (a) گاوسین نوفه سفید. (b) نوفه سفید دونمایی. © AR(2) که به وسیله نوفه سفید تی-استیودنت با ۳ درجه آزادی گرفته شده است. (d) AR(2) که به وسیله نوفه سفید کشی گرفته شده است. -، آشکارساز لاپلاس؛- – -، آشکار ساز گاوسین است.