(۲-۳-۳)
فرض کنید باشد. در نتیجه است. با توجه به اینکه و دارند و از یکدیگر نیز مستقل هستند
.
همچنین
در نتیجه
با توجه به اینکه است، داریم:
(۲-۳-۴)
از طرفی با توجه به اینکه است، روابط (۲-۳-۳ ) و ( ۲-۳-۴ ) برابرند اگر
اگر به جای ، و برآوردگرهایشان یعنی ، و را جایگزین کنیم، به گونه ­ای که است، درجه آزادی به صورت زیر نوشته می­ شود:
بنابراین تقریباً توزیع دارد و از در رابطه ( ۲-۳-۲ ) مستقل است.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

از طرفی
است. دارای توزیع کای اسکور با درجه آزادی است و براساس قضیه ۹ پیوست تقریباً توزیع کای اسکور با درجه آزادی دارد و مستقل از می­باشد.
در نهایت تقریباً توزیع با درجات آزادی و دارد.
اگر مقدار مشاهده شده آماره باشد، آزمون MNV فرض برابری بردارهای میانگین را رد می­ کند اگر:
(۲-۳-۵)
حال به بررسی یک ویژگی مطلوب آزمون MNV می­پردازیم اما قبل از آن تعاریف زیر را در نظر بگیرید:
تعریف ۲-۳-۱: یک آماره را پایا (invariant) گوییم اگر با تبدیل به تغییری در آماره ایجاد نشود.
تعریف ۲-۳-۲: یک آماره را affine invarinat گوییم اگر با تبدیل به تغییری در آماره ایجاد نشود.
آزمون MNV، affine invariant می­باشد، زیرا با تبدیل به داریم:
در نتیجه

۲-۴- روند معمول

روند معمول برای آزمون برابری دو بردار میانگین نرمال چند متغیره بدین صورت است که در صورتیکه فرض برابری ماتریس­های کوواریانس قابل قبول باشد، از آزمون – هتلینگ و در غیر این صورت از یکی از آزمون­های تقریبی برای مسئله بهرنز فیشر استفاده می­کنیم. فرض کنید از آزمون MNV برای مسئله بهرنز فیشر استفاده کنیم. بنابراین روند انجام آزمون برای مجموعه داده ­ها به صورت زیر می­باشد:
ابتدا فرض برابری ماتریس­های کوواریانس را آزمون می­کنیم. در صورتیکه رابطه ( ۲-۲-۱۸ ) بزرگتر یا مساوی باشد، از آزمون – هتلینگ و در غیر این صورت از آزمون MNV برای آزمون برابری بردارهای میانگین در سطح استفاده می­کنیم. ( معمولا و را برابر در نظر می­گیرند.)
بنابراین آماره آزمون با بهره گرفتن از تابع نشانگر به صورت زیر نوشته می­ شود:
(۲-۴-۱)
به گونه ­ای که ، و به ترتیب در روابط ( ۲-۲-۱۸ )، ( ۲-۱-۱ ) و ( ۲-۳-۱) معرفی شده ­اند.
فرض کنید مقدار مشاهده شده آماره در رابطه ( ۲-۴-۱ ) باشد. در این صورت آزمون ترکیب شده فرض برابری بردارهای میانگین را رد می­ کند اگر:
.

فصل سوم: معرفی آزمون­ها

معرفی آزمون­ها
در این فصل به معرفی آزمون­های تقریبی برای آزمون فرض در مقابل زمانیکه ماتریس­های کوواریانس مجهول هستند می­پردازیم. بنابراین این فصل شامل ۳ بخش می­باشد که در هر بخش یکی از آزمون­های تقریبی مورد نظر معرفی خواهد شد.

۳-۱- آزمون جانسن ( Johansens’ Test )

اولین آزمون تقریبی که در این فصل معرفی می­ شود آزمون جانسن می­باشد. در حقیقت آزمون جانسن تعمیم یافته روش ولچ در حالت یک متغیره می­باشد. به همین دلیل ابتدا روش ولچ را به صورت مختصر توضیح می­دهیم. ( Welch, 1951, p.330-336 )

۳-۱-۱- روش ولچ ( Welch’s Method )

فرض کنید متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع مشترک نرمال با میانگین و واریانس باشند که در آن ثابت و معلوم و و مجهول می­باشند. همچنین فرض کنید برآورد باشد به طوریکه دارای توزیع کای اسکور با درجه آزادی باشد. در یک حالت خاص فرض کنید میانگین نمونه­ها از مشاهده از جامعه نرمال با میانگین و واریانس باشند.
ولچ در سال ۱۹۵۱ آماره ، به گونه ­ای که و معرفی کرد. وی با محاسبه تابع مولد گشتاور این آماره و مقایسه آن با تابع مولد گشتاور توزیع به این نتیجه رسید که تقریباً دارای توزیع است به گونه ­ای که دارای توزیع با درجات آزادی و است که ، و به صورت زیر می­باشند:

۳-۱-۲- آزمون جانسن

در این قسمت به بررسی آزمون جانسن و معرفی آماره آزمون که در واقع آماره نسبت درستنمایی می­باشد می­پردازیم. در صورتیکه برای آزمون جانسن مشابه روش ولچ عمل کنیم به این نتیجه می­رسیم که آماره معرفی شده در رابطه ( ۱-۳-۴ ) تقریباً دارای توزیع است که دارای درجات آزادی و است به گونه ­ای که
(۳-۱-۱)
(۳-۱-۲)
است. (Johansen, 1980, p.85-92 )
توجه شود که با در نظر گرفتن روابط مربوط به روش ولچ به دست می ­آید.
در این صورت آماره آزمون جانسن به صورت زیر معرفی می­ شود:
(۳-۱-۳)
به گونه ­ای که تقریباً توزیع آن با درجات آزادی و است.