در اصلاحیه کافمن بر روش نیوتن، (۳۱) از جمله دوم صرفنظر شده و معادله به شکل زیر تقریب زده
می شود:
(۳-۹۰)
هم چنین در قالب نماد ماتریسی، به شکل زیر نمایش داده می شود:
(۳-۹۱)
که در معادله فوق، ، ضرب هادامارد^[۸۹] می باشد. در حقیقت الگوریتم ارائه شده، در معادلات (۳-۷۸) تا(۳-۸۵) و (۳-۹۱) خلاصه می گردد. باید توجه نمود، به منظور همگرا شدن الگوریتم به مینیمم محلیمی بایست، اندازه ، به صورت مناسبی، انتخاب گردد. در روش نیوتن، بوده و معمولاً آن را به صورت نشان می دهند، که و کوچکترین مقدار صحیح ممکن می باشد.
۳-۳-۱۴- ملاحظات عملی در روش
در عمل، استفاده از روش ^[۹۰]، نیاز به رعایت مجموعه ای از ملاحظات دارد. به عنوان مثال، می بایست آرایه آنتن ها به دقت کالیبره شده باشد، در غیر این صورت، تاثیر قابل توجهی در خروجی به دست آمده، خواهد گذاشت. هم چنین، به منظور محاسبه تابع هزینه^[۹۱] و ماتریس هسین^[۹۲]، تابع هزینه، می بایست نسبت به ، دو بار مشتق پذیر باشد. به علاوه، مقدار دهی اولیه، به منظور همگرایی الگوریتم نیز می بایست با دقت کافی صورت پذیرد. به منظور مقدار دهی اولیه، می توان ابتدا از روش ، استفاده نموده و مقادیر اولیه محاسبه گردد. سپس از الگوریتم ، برای محاسبه مقادیر، به میزان دقیق تر استفاده می شود. اما

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

می بایست توجه نمود که از روش ، تنها برای سیگنال های ارسالی که ناهمبسته باشند، می توان استفاده نمود. یکی دیگر از روش های قابل کاربرد برای مقداردهی اولیه در روش ، روش بردار تصویر متناوب^[۹۳] است. ایده اصلی الگوریتم ، توسط “واکس^[۹۴]” و “زیسکایند^[۹۵]” (۳۲) به منظور حل مسائل چند بعدی، از طریق جایگزینی آن توسط مسائل یک بعدی شکل گرفت. این روش را می توان به کلیه منابع، اعم از همبسته یا ناهمبسته اعمال نمود. اگرچه این روش در حالت کلی، به یک مقدار مینیمم محلی، همگرا می گردد، ولی سرعت همگرایی آن در صورتی که ماتریس هسین به شکل نامناسب تعریف شده باشد، بسیار کند خواهد بود.
در روش ، در واقع با اجرای الگوریتم به صورت سلسله مراتبی، ‌سعی در بهبود خروجی و افزایش دقت محاسبه زوایای ورودی داریم. در واقع، در هر مرحله از محاسبه می بایست، مقادیر تابع ، تقریب زده شود. هم چنین به منظور محاسبه عبارت های فوق، می بایست و به دست آید که به این منظور می توان از روش تجزیه ، استفاده نمود.
(۳-۹۲)
بنابراین:
(۳-۹۳)
(۳-۹۴)
و در نهایت توابع ، به شکل زیر تعریف می گردد:
(۳-۹۵)
(۳-۹۶)
(۳-۹۷)
هم چنین پارامترهای داخلی آن به شکل زیر بیان می گردد:
(۳-۹۸)
(۳-۹۹)
(۳-۱۰۰)
۳-۳-۱۵- روش های جهت یابی همبسته زیرفضایی(^[۹۶])
همانگونه که قبلاً توضیح داده شد،‌ روش های همبسته، خروجی بسیار مناسب تری، نسبت به روش های ناهمبسته ارائه می دهند. در این قسمت، به بررسی جزئیات استفاده از چند روش معرفی شده و ارائه توضیحات بیشتر پرداخته خواهد شد.
همان گونه که قبلاً مطرح گردید،‌ در این روش ها ابتدا، اطلاعات هر بین فرکانسی باند باریک، توسط تابع انتقال به یک فرکانس مرجع انتقال داده شده و در نهایت به گونه ای با یکدیگر ترکیب می گردند که منجر به افزایش تا حد قابل قبول خواهد شد. در این حالت ، به ازای هر ، ماتریس جهت دهی در هر بین فرکانسی تعریف می گردد.
اگر ماتریس های ، به ازای هر ، دارای رتبه باشد، ماتریس
غیر منفرد، به ازای هر ، با ابعاد به گونه ای وجود دارد که:
(۳-۱۰۱)
باید توجه نمود که ماتریس، منحصر به فرد نمی باشد. فرض کنیم که ماتریس جهت دهی ، توسط ماتریس ، در همسایگی و محدوده ای از ، انتقال یابد. هرچه انتقال یافته به ماتریس ، نزدیک تر باشد، عمل انتقال از کیفیت بهتری برخوردار خواهد بود. در حقیقت ماتریس انتقال، یک کلاستر حول فضای ، ایجاد می نماید. در بهترین حالت تمرکز، هر بردار (ستون) ماتریس ، دقیقاً به بردار متناظر خودش در فضای ، انتقال می یابد. این خاصیت را می توان در نرم فربینیوس مشاهده نمود. مربع نرم فربینیوس، یک ماتریس معادل است با جمع مربعات نرم اقلیدسی هر بردار ستونی ماتریس. بنابراین استفاده از ماتریس های تمرکز متفاوت، کیفیت های متفاوتی را ایجاد خواهد نمود. در ادامه به بررسی دو روش مختلف پرداخته خواهد شد.
۳-۳-۱۶- روش ماتریس تمرکز قطری
همان گونه که پیشتر اشاره گردید، به منظور استفاده از روش ، به یک مقدار اولیه برای زوایای ورود نیاز است که می توان آن را از روش های تخمین جهت دهی کلاسیک بین های فرکانسی محاسبه نمود و با جایگذاری آن در معادله (۳-۱۰۱)، ماتریس را محاسبه کرد. با فرض این که بردار زوایای ورود اولیه محاسبه شده در مرحله مقدماتی، به زاویه ورود بردار ، نزدیک باشد، داریم:
(۳-۱۰۲)
در حالتی که آرایه سنسورها به صورت خطی باشد، داریم:
(۳-۱۰۳)
در رابطه فوق، ، فاصله بین دو سنسور همسایه می باشد. هم چنین ، برای آرایه دایره ای یکنواخت به صورت زیر تعریف می گردد:
(۳-۱۰۴)
که در آن ، به صورت زیر قابل تعریف است:
(۳-۱۰۵)
۳-۳-۱۷- روش زیرفضای چرخشی سیگنال^[۹۷]
با داشتن یک تخمین اولیه از زاویه ورود سیگنال های ارسالی به شکل ، یک روش کلی ماتریس متمرکز کننده واحد، با این فرض که ، به عنوان روش زیرفضای سیگنال، به شکل زیر تعریف می گردد:
(۳-۱۰۶)
در عبارات فوق، ، نرم فربینیوس و ، بردار تخمین مقدماتی می باشد. در واقع در این روش ، باعث چرخش زیرفضای بین فرکانسی باند باریک گردیده که حتی الامکان نرم فربینیوس، بدون این که طیف همبستگی سیگنال نویز تغییر یابد، به زیرفضای بین سیگنال باند باریک ، نزدیک گردد. همان گونه که قبلاً اشاره گردید، یکی از جواب های ممکن در این روش به شکل زیر خواهد بود:
(۳-۱۰۷)
که در آن ، ماتریسی است که ستون های آن در بردارنده بردارهای منفرد سمت چپ، و ، ماتریسی است که ستون های آن شامل بردارهای منفرد سمت راست ماتریس می باشد.
پس از انتقال تمام ماتریس باند باریک به یک فرکانس مرکزی ، تخمین زوایای ورود سیگنال پهن باند منجر به حل یک سیگنال باند باریک می گردد که می توان از کلیه روش های باند باریک برای محاسبه خروجی آن استفاده نمود. در ادامه فرمول های کلی مربوط به این روش ارائه می گردد.
خروجی داده هایی از اعمال ماتریس انتقال، در بازه زمانی ام، به شکل زیر تعریف می گردد:
(۳-۱۰۸)
و ماتریس کوواریانس زمانی به صورت زیر قابل تعریف است: