۰٫۹۷۳۹۰۶۵۲۸۵۲

۰٫۰۶۶۶۷۱۳۴۴۳۱

۰٫۸۶۵۰۶۳۳۶۶۶۹

۰٫۱۴۹۴۵۱۳۴۹۱۵

۰٫۶۷۹۴۰۹۵۶۸۳۰

۰٫۲۱۹۰۸۶۳۶۲۵۲

۰٫۴۳۳۳۹۵۳۹۴۱۳

۰٫۲۶۹۲۶۶۷۱۹۳۱

۰٫۱۴۸۸۷۴۳۳۸۹۸

۰٫۲۹۵۵۲۴۲۲۴۷۱

در شکلهای، (۳-۳) و (۴-۳) ، نتایج به دست آمده از روش انتگرالگیری گاوس-لژاند و مستقیم را برای شعاع کروی سخت مقایسه کرده­ایم. در این نتایج اختلاف محسوسی بین این دو روش انتگرالگیری مشاهده نمی شود. دقت و سرعت محاسبات در روش انتگرالگیری گاوس آن را برای محاسبه انتگرالهای پیچیده مناسب می­سازد. لذا در محاسبۀ بخشهای اختلالی بلند برد و کوانتمی از آن استفاده نموده­ایم. در شکل (۳-۳) مقادیر مختلف شعاع کروی سخت نسبی معرفی شده توسط پاتریک برای مخلوط هیدروژن و هلیوم نشان داده شده است. همانطور که متذکر شدیم، این اختلاف به دلیل تفاوت مقادیر ثابت پتانسیل باکینگهام می­باشد.

شکل.۳-۳- مقایسه مقادیر مختلف شعاع کروی سخت نسبی معرفی شده توسط پاتریک برای مخلوط هیدروژن و هلیوم.

شکل۳-۴- مقایسه مقادیر محاسبه شده شعاع کروی سخت از طریق انتگرال گیری مستقیم و روش گاوس-لژاندر معرفی شده توسط پاتریک برای مخلوط دوتریوم و تریتیوم
ثوابت و در جدول (۳٫۳) آورده شده است. معادله تحلیلی (۴۹٫۳) دارای ده ثابت است و آن را برای هر پتانسیل کروی می­توان بکار برد. برای حل انتگرال معادله­های (۲۷٫۳) و (۲۸٫۳) نیز از کوادراتور ده نقطه­ای گاؤس-لژاندر می­توان استفاده کرد، تفاوتی که در اینجا مشاهده می­ شود به علت وجود تابع توزیع شعاعی می­باشد. از این تابع توزیع برای کاهش زمان محاسبات استفاده می­ شود. پتانسیل برهمکنشی ذرات به گونه ­ای می­باشد که در فواصل بزرگتر از مقدار مشخصی به سمت صفر میل می­ کند که بعد از این فاصله بعلت کاهش اثرات برهمکنشی این پتانسیل صفر می­گردد، تابع توزیع را می­توان به واحد نرمالیزه کرد. این فاصله را در مختصات تغییر یافته با نماد نشان می­دهد. که به تعریف آن اشاره خواهد شد. لذا تغییرات را روی انتگرال معادله (۲۷-۳) به شکل زیر می­توان بیان کرد:
(۵۰-۳)
و از آنجا که و و و در تابع توزیع تعریف شده در معادله (۴۶-۳)، به تبدیل میشود لذا انتگرال ما بر حسب فاصله کاهش یافته به صورت زیر در می ­آید:
(۵۱-۳)
و با در نظر گرفتن این مطلب که پتانسیل بعد از فاصله به صفر میل می­ کند، تابع توزیع شعاعی را از همان فاصله به بعد می­توان صفر در نظر گرفت، داریم:
(۵۲-۳)
(۵۳-۳)
از آنجاییکه در دماهای بسیار بالا به سمت صفر میل می­ کند و بازه تغییرات از یک شروع شده و به ۲٫۴ ختم می­ شود، لذا دماهایی وجود دارد که در آنها بسیار بزرگتر از ۲٫۴ می­ شود، که ممکن است موجب ناپیوستگی­هایی در معادله حالت شود بدین سبب که تابع توزیع شعاعی در نقطه ناپیوسته است. برای غلبه بر این مشکل، شعاعی را با نماد به صورت زیر تعریف می­کنیم:
(۵۴-۳)
سپس در انتگرال به جای از استفاده کرده و را نیز به شکل زیر تعریف می­کنیم:
بنابراین مقدار انتگرال معادله (۵۲-۳) با تقریب به صورت زیر در می ­آید:
(۵۵-۳)
نقش در معادله (۵۴-۳) این است که این اطمینان را به ما می­دهد، که برای هنگامیکه باشد شود. و برای هنگامیکه می­ شود شود همچنین برای ، گردد . پارامتر برای محاسبه دوباره کسر پکیدگی به کار نمی­رود، اما برای تعیین دوباره حدود مرزی و فاصله کاهش یافته بکار می­رود. برای انتگرال چون یکی از محدوه ها به سمت بینهایت میل می­ کند، ناچاریم تغییر متغیر را بر آن اعمال کنیم که حاصل این تغییر متغیر به صورت زیر در می ­آید: